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文教新聞 : 轉載UDN文教 閱讀數學/從掃地機器人到硬幣
作者 圖書組長 於 2017年06月19日 08:54:37 (413 次閱讀) 該作者發佈的其他新聞

前兩周我們講了人孔蓋,解釋為什麼它是圓形,本週延續圓形這個話題。

圓形是個很特別的形狀,從一個點O出發,與點O「距離」相同的所有點合起來,就形成了一個圓。方才提到的距離是半徑,點O是此圓的圓心。除了人孔蓋,圓形可以當作車輪使用。關於硬幣是圓形,也有幾種說法,例如製作方便。古代金屬鍛造敲打時,半固態的金屬每次敲擊下會均勻地往外擴散,以敲打中心為圓心,自然形成圓形,其他形狀需要額外的設計。另一種比較現代的原因是販賣機等吃硬幣的機器,如果使用圓形以外的硬幣,機器容易卡住。不管是哪一種說法,都是基於圓形「等距離」的概念。更具體地說,當我們畫兩條平行線,平行線距離是圓的直徑。則把圓形擺在中間,圓形可以自由在兩條平行線中轉動,這就是等距離,圓形能滾動的原因。

但其實不只是圓形,還有一種三角形也能轉動,稱之為「勒洛三角形」。

勒洛三角形的作法是,先畫一個正三角形,再以三個頂點為圓心,正三角形邊長為半徑,劃出三個圓,三圓交會的中心處,出現了一個胖胖的,邊長是圓弧狀的三角形。這即是所謂的勒洛三角形。不只是三角形能變成胖胖的勒洛三角形,還有好幾種正多邊形也可以用這種方式變成勒洛多邊形。

把勒洛三角形放進兩條平行線中,你會發現它依然可以轉動,因為不管怎麼移動,它與平行線交會的,都是某個頂點跟對面的弧。頂點是某圓的圓心,弧是這個圓心對應的圓周,距離都是半徑。

可以轉動的勒洛多邊形有甚麼好處呢?先從硬幣想起。盲人只能從圓形硬幣大小,還有上面淺淺的花紋判斷面額。如果是勒洛多邊形就多了一項資訊:邊數。儘管是圓弧的邊,但還是有邊數的差別,只要不同面額是不同勒洛多邊形,盲人就更容易分辨。

日本有一款掃地機器人採用勒洛三角形,宣稱可以攻克傳統圓形掃地機器人不容易掃到的角落。這個論述是有數據依據的。一個直徑是1的圓形被放在一個邊長是1的正方形中,圓形只能原地旋轉,經過的面積比例是圓面積除以正方形面積,大約只有78.5%。如果是勒洛三角形,則可以某種程度地旋轉移動,移動的軌跡將會形成一個圓角的正方形,佔原本正方形面積的98.8%。

勒洛多邊形,是一個可以多多認識的有趣幾何形狀。